ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение А А, именуется отношением эквивалентности.

Если r - отношение эквивалентности и a r b, то элементы a и b именуются эквивалентными тут либо просто эквивалентными.

Рассмотренное ранее отношение "быть родственником" является отношением эквивалентности. Аналогично, отношением эквивалентности на огромном количестве всех людей является отношение "быть однофамильцем". Это отношение связывает меж собой ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ людей с схожими фамилиями, распределяя их по классам людей, любой из которых состоит из всех людей, имеющих одну и ту же фамилию.

Для представления фундаментального характеристики отношений эквивалентности введем понятие разбиения огромного количества.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разбиением огромного количества A именуется конечное либо нескончаемое семейство множеств Ai, i Î I таких, что:

1)"iÎI(Ai ¹ );

2) "i,jÎI(i j Þ Ai Ç Aj ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ = );

3) Ai = A .

Тут I это огромное количество значений нижнего индекса множеств разбиения. В разбиениях счетных множеств в качестве огромного количества индексов I обычно применяется все либо часть огромного количества натуральных чисел.

Пусть A1, ... , Ak, . . . - разбиение огромного количества A. Несложно проверить, что отношение r на огромном количестве A, определяемое соотношением: ar b , является отношением эквивалентности ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.

Последующая аксиома указывает, что справедливо и оборотное свойство.

Аксиома 3.2

Всякое отношение эквивалентности на огромном количестве A разбивает это огромное количество на классы эквивалентных частей.

Подтверждение

Разобьем подтверждение аксиомы на несколько шагов.

1. Построение разбиения, порождаемого отношением r.

Пусть r - отношение эквивалентности на огромном количестве A.

Для каждого x A обозначим как [x] огромное количество {y½xry}. Так как отношение ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ r рефлексивно, то x Î [x], а, означает, каждое огромное количество [x] является непустым и система множеств [x], где x Î A, содержит все элементы A. Из семейства множеств x ÎA удалим кратные вхождения схожих множеств. В итоге получим семейство непустых несовпадающих множеств R, в каких содержатся все элементы A.

2. Обоснование того, что R образует разбиение.

Пусть [x] и [y] - произвольные классы из семейства ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ R. Покажем, что они или не пересекаются, или совпадают, т.е. вероятны только два варианта:

1) [x] Ç [y] = ;

2) [x] Ç [y] .

Представим, что это свойство является неправильным. Другими словами для неких 2-ух частей x и y огромного количества [x] и [y] пересекаются, но не совпадают (рис 3.1).

[x] [y]

x z y

ab

Рис.3.1

Тут z - это элемент, общий для ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ классов [x] и [y], аa и b - произвольные элементы в [x] и [y] соответственно.

1. Докажем, что [x] [y]. Пусть x r a. Покажем, что
справедливо отношение y r a:

a) так как x r z, то из симметричности r следует, что
z r x;

b) так как z r x и x r a, то из транзитивности r вытекает, что z r a;

c) из y r z и ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ z r a и транзитивности r имеем y r a. Потому [y], а, означает, [x] [y].

2. Оборотное включение [y] [x] может быть подтверждено, если повторить проведенные рассуждения, поменяв в их местами x и y, также aи b.

Как следует, справедливо равенство множеств [x] и [y]. Последнее противоречит предположению о том, что эти огромного количества являются различными.

Это значит, система множеств R образует ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ разбиение огромного количества разбиение A.

3. Обоснование того, что R разбивает A на классы эквивалентных частей.

3.1. Покажем, что в каждом классе из R любые два элемента находятся меж собой в отношении r.

Пусть выбраны случайное огромное количество [x] Î R и элементы a, b Î A. Покажем, что ar b. Вправду, по определению огромного количества [x] справедливы соотношения: xraи xrb. Из ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ соотношения xraи симметричности r следует, что arx. Из arx и xrb, также транзитивности r следует, что arb.

3.2. Покажем, что элементы из различных классов в R не находятся в отношении r. Пусть [x], [y] Î R и aÎ[x], bÎ[y] - произвольные элементы этих множеств. Покажем, что (a, b) Ï r. Представим неприятное. Пусть arb. Тогда из симметричности дела r следует, что bra. Так как yrb и bra, то из ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ транзитивности r следует, что yra. Потому aÎ[y]. Последнее противоречит тому, что огромного количества [x] и [y] не пересекаются.

Как следует, (a, b) Ï r.


otnoshenie-k-eksternalizacii-v-soznanii-uchenika.html
otnoshenie-k-kislotnosti-sredi.html
otnoshenie-k-molekulyarnomu-kislorodu.html